我是北大留级生-自学成才之路-第22章
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在一定温度之下，质量一定的气体的压力ρ与其体积ｖ成反比，即
ρ＝ ，（１）其中ｃ是一个正的常数。如果我们无限制地扩大气体的体积，它的压力就会减少；如果过程进行得充分长久，换句话说，如果把气体的体积弄得充分大，那末根据公式（１），气体的压力就可以变成（并且在气体继续膨胀之下还能够保持着）任意地小。这就说明，一定质量的气体在无限制膨胀这一个过程中，它的压力是一个无穷小量。
这个例子同样刺激了我的想像力。
爱因斯坦有句名言：想像力比知识更重要。真正的大数学家在气质上应是一位极富有想像力的诗人。
由于上述两个例子对我的深深触动，我才决定掏钱买下这本数学书。今天它就放在我浦东房子的书架上。它几乎陪伴了我的一生成长。
数学王国的神性（2）
数学拓展了我的心胸和视野，大大有助于我善养吾浩然之气，尽管我后来并没有成为数学家，但数学毕竟营养了我的世界哲学。从那以后，在我的书包里就有了这本书，后来还买来下册。有一回被同班同学黄文华看到，便问：“你学数学？”我笑而不答。
一切得保密。在那个年代，暴露思想是危险的。其实在我眼里，数学分析（微积分）是一本自然哲理诗集。
我开始对函数论感兴趣。
如果说，变量这个概念是数学分析第一个基本概念，那么第二基本概念便是函数了。
的确，在我们这个无时不在变化的世界，还有什么比变量更重要的呢？！从一开始我就是从自然哲学的着眼点去看变量。
所谓函数就是：每门自然科学（其实还有社会科学）的目的，是去寻找一个变量（因变量）依赖于另一个变量（自变量）的规律。把它写成公式（数学符号）就是：
ｙ＝ｆ（ｘ）
其中ｘ为自变量，ｙ是因变量（即函数）。
后来我把这个记号（或符号）看成是整个西方哲学的标记，把太极图看成是中国哲学的象征。
领悟到这一点，是我在北大最后三年的重要收获之一：哲学世界观或世界哲学的收获。
我把它看成是我的一篇毕业论文。由于极左路线，教改乱哄哄，强调七分政治三分业务，贯彻“学生要在工厂、农村劳动中毕业”的方针，我们班在１９６１年初夏没有交毕业论文。但是我自己为自己完成了一篇。——也许是全世界最短的一篇。因为它只有上述两个符号。
这也开始显示、表明了我的思维方式或思路特点：善于进行“语言转换”，把具体成果，推广、上升到普遍世界的法则。它也开始显示出了我的思维方式的萌芽：从哲学角度去感受、把握一切：从音乐到数学和物理，再到建筑。
二、 数学力学系图书馆
由北大西校门进来，向右走１００多米，是大图书馆。再往右１００来米，是数学力学系。它由两座对称的姐妹楼阁组成，明清建筑风格，很典雅，四周都是绿化带，体现了原美国教会学校——燕京大学的气质。当年这种贵族气派同阶级斗争、一个接一个的政治运动和由此造成的自杀风是格格不入的，同数学的至善和高阶的美则是协调的。
左面那座阁楼便是数学力学系图书馆。我忘不了我在那里度过的日子，时１９５８年春至１９６１年夏我毕业。我是不定期地去光顾、朝圣。
是的，用“朝圣”二字最恰当。因为数学王国有种神性弥漫。我是冲着数学的神性、诗意和哲学才走进去的，蹑手蹑脚，怕打破那里的神性和宁静。我忘不了我第一次走进图书馆的情景。
那里的职员都很有教养、很有素质（这是我的直觉），估计是燕京大学的原职工。
“是新同学吧？”管理员问。
“是。”我回答。
他就再也没有盘问我，也没有查看我的学生证。也许根本就没有查看学生证这一条规定。是我多心。如果他知道我是西方语言文学系（简称西语系）三年级上学期的学生，他会对我说什么？会觉得怪吗？甚至会认为精神不正常？因为西方语言文学同数学相距太远太远！如果是走进历史系、哲学系和中文系图书馆，那是名正言顺，顺理成章的。
我第一次走进数学系图书馆去阅读，的确要点勇气。用今天的眼光去看我当年的勇气有两层涵义：
１． 外在的勇气。文科学生第一次走进理科图书馆。（后来我还闯进过物理系、生物系和地质地理系图书馆）
２． 内在的勇气。数学王国高深莫测。我能走进去吗？闯进去的目的是什么？如果真的有个高明的管理员盘问我：“你想到阅览室、书库看什么？你能看到、发现什么？”
一下子，我肯定会支支吾吾答不上来。
过一会，我会说：“走进去感受感受数学宏伟建筑的壮丽和气氛；感受感受伟大数学家究竟是怎样工作的？看看数学究竟是什么？或者用英文来说：ＷＨＡＴ ＩＳ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ？”
也许过了一年，即到１９５９年，我的回答会更明确些：“我是从自然哲学的着眼点去看数学。我想偷偷地从门缝中去看一下上帝建造世界的方针，因为伽利略说过，大自然这本神奇的书是用数学这种语言写成的。”
“我走进数学这座宏伟的哥特式教堂建筑，是为了朝圣，顶礼膜拜；是为了表达我内心的一种赞美和敬畏。”
“每个人都有资格表达自己内心的赞美和敬畏。在这一点上，人人平等。”
“在上帝面前人人平等；在老子庄子的大道或常道面前人人平等。上帝即常道、大道。”
这便是我在１９５９年的回答；也是１９５９年我所达到的水平，当然也是我的“哲学世界观”。
北大数学系图书馆拥有许多权威性的专业期刊，如：
１． “Ａｍｅｒ． Ｍａｔｈ． Ｍｏｕｔｈｌｙ”（美国数学月刊）；
２． “Ｍａｔｈｅｍａｔｉｓｃｈｅ Ｚｅｉｔｓｃｈｒｉｆｔ”（数学杂志，德文版）；
３． “Ｍａｔｈｅｍａｔｉｓｃｈｅ Ａｎｎａｌｅｎ” （数学年鉴，德文版）；
数学王国的神性（3）
４． “Ｚｅｉｔｓｃｈｒｉｆｔ ｆüｒ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｓｃｈｅ Ｌｏｇｉｋ ｕｎｄ Ｇｒｕｎｄｌａｇｅｎ ｄｅｒ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｋ”（数理逻辑和数学基础杂志，德文版）；
５． “Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｒｅｖｉｅｗ”（数学评论）；
６． “Ｊ． Ｓｙｍｂ． Ｌｏｇｉｃ”（形式逻辑杂志）；
７． “Ｊａｈｒｅｓｂｅｒｉｃｈｔ ｄｅｒ Ｄｅｕｔｓｃｈｅｎ ＭａｔｈｅｍａｔｉｋｅｒＶｅｒｅｉｎｉｇｕｎｇ”（德国数学家协会年度报告，德文版）；
８． “Ｅｎｚｙｋｌｏｐⅲ洌椋濉。洌澹颉。停幔簦瑁澹恚幔簦椋螅悖瑁澹睢。祝椋螅螅澹睿螅悖瑁幔妫簦澹睢保ㄊЭ蒲О倏迫椋弧�
９． “Ａｍｅｒ． Ｊ． Ｍａｔｈ．”（美国数学杂志）；
１０． “Ｊ． Ｌｏｎｄｏｎ Ｍａｔｈ． Ｓｏｃ”（伦敦数学协会杂志）。
其中不少期刊是全套的合订本，创刊号常常是１９世纪的出版物，这更激起了我肃然起敬。由此可见北大图书馆馆藏的丰富。因为它集中了几所大学的馆藏（主要是老北大和燕京大学的家底），令我感动，惊讶。
翻开这些杂志，我的内心充满了一种敬畏感，有如一本圣书展现在我面前。是的，这是我的《圣经》。每个人心目中的《圣经》是不尽相同的。透过这些杂志（尽管９０％的文章我看不懂），我或多或少能感受到“上帝·自然”的存在。因为数学是上帝的语言。
从这些杂志，我主要阅读两类文章：大数学家的生平和工作；数学哲学。下面我就来分别谈谈我在这两方面的感悟和收获（读书笔记有两本）：
１． 大数学家生平和工作
这些文章给了我许多知识，更为重要的是自然哲学智慧。我渐渐明白：智慧高于知识。知识往往会过时，智慧的寿命则是千年，它与人类同在。
柏拉图特别看重几何学。他说：“不要让不懂几何学的人入内！”
这句箴言写在他主办的雅典哲学学园的入口处。我第一次读到这句格言，不是在别处，而是在北大数学系图书馆。我特别欣赏他的英译文：
“Ｌｅｔ ｎｏ ｍａｎ ｉｇｎｏｒａｎｔ ｏｆ Ｇｅｏｍｅｔｒｙ ｅｎｔｅｒ ｈｅｒｅ！”
从此我知道了数学对哲学的重要性。当然还有物理学（实验物理加上理论物理）。
１８世纪法国伟大数学家拉格朗日（Ｊ．Ｌ．Ｌａｇｒａｎｇｅ， １７６３—１８１３）的创作准则给了我难忘印象。他说：当一位数学家走出他的书斋，把他得出的结果告诉他在街道上遇见的第一个人，并且让他明白这个结果，那末，这位数学家才算是完完全全弄懂了他自己的工作。”
当然这只是一种理想。其实拉格朗日所追求的是数学真理的简洁性、清晰性和明确性。这使我联想起白居易的创作风格：通俗平易，朴素浅显，反对艰深晦涩。这样白居易的诗歌便赢得了最广泛的读者，以致于当时“禁省、观寺、邮候、墙壁之上无不书，王公、妾妇、牛童、马走之口无不道……自篇章以来，未有如是流传之广者。”
也许由拉格朗日发现的“中值定理”便是一例。因为不久我便读到它的几何意义：明晰，清楚，简洁。
当我读懂了这条定理（它在整个微分学中占有重要地位）的时候，内心有种难以言表的激动或激情。我知道，这是对真理的追求怀有一种激情（ａ Ｐａｓｓｉｏｎ ｆｏｒ Ｔｒｕｔｈ）。在当年那种非理性、混乱和不正常的政治现实生活中，数学真理之光于我无疑是种高贵的鼓舞和安慰。在这里我要说明四点：
ａ． 北大有些阅览室的自然科学图书都是开架的。不管你是哪个系的学生，只要你乐意，便可随手把任何一本书取下来阅读。这是当年北大最有利于我成长和发展的环境。
为了吃透中值定理，我至少参照、比较了五本微积分教程。因为每本教程解释的角度、语言略有不同。我是“兼听则明”，“兼采众长”，“兼收并蓄”，最后达到融会贯通。——后来它便成了我自学数学的方法。
ｂ． 反右后北大的恶劣环境迫使我进一步退隐到自己的内心深处。这种心理也有利于我进入中值定理。因为我把数学王国看成是一种避难所，是一种拯救。
数学真理的惟一性、确定性和可靠性在我的内心深处可以构筑成一座坚不可摧的碉堡。
白居易的话是对的：“道屈才方振，身闲业始专。”
此处“道屈”即指艰难时世，命运坎坷。所以黑格尔才说：“哲学开始于一个现实世界的没落”；精神逃避到思想的空旷和深邃领域，建立起一个思想或观念的王国，以反抗混浊的世界。
没有比数学更空旷、更幽深的领域了！
ｃ． 那些年，我是随心所欲地阅读。精神非常自由。
我像个钟摆，在理科和文科这两头来回摆动：在理科呆得太久，怕冻僵；在文科停留的时间太长，又有被烧焦的危险。所以我总是在两头不断地来回波动，求得精神上的平衡，和谐，文科理科的统一。
ｄ． 后来我读英国杰出数学家和哲学家怀特海（Ａ．Ｎ． Ｗｈｉｔｅｈｅａｄ， １８６１—１９４７）的《科学与近代世界》（Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ ｔｈｅ Ｍｏｄｅｒｎ Ｗｏｒｌｄ）一书便恍然大悟。因为他是这样推崇数学和音乐的：这两样东西是人类性灵所能创造出来的最伟大的产物。
数学王国的神性（4）
这个一语胜人千百的命题给了我难忘印象，并使我终生受益。不过也只有我在１９５９年对音乐和数学有了一定的感受、体认之后我才能懂得怀特海提出的这个命题。不过我还想加进一样东西，而成为三位一体：
数学·理论物理·西方古典音乐
在北大最后三年，这三样东西占据了我６０％的时间，也是构筑我的内心堡垒三块非常重要的花岗石。若是抽掉这三块基石，我的内心要塞便会轰隆一声坍塌。
２． 数学哲学
从１９世纪末的一本德国数学杂志中（字体和纸张都显得古色古香），读到一篇有关德国著名数学家克罗纳克（Ｌ． Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ， １８２３－１８９１）的文章。克罗纳克给数、数学、数学家和上帝下了一个幽默、绝妙的
