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第28章

亚里士多德的三段论-第28章

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    '(5)CCpqCNqCpr

    S6。

    pCpq,rCpr×C(5)—(6)

    '(6)CNCpqCpr

    S10。

    pNCpq,qp×C(6)—(7)

    '(7)CpCNCpqr

    S6。

    qCCpq×C(7)—(8)

    '(8)CNCpCpqr(8)

    rCpCpq×(9)

    '(9)CNCpCpqCpCpq

    S2。

    pCpCpq×C(9)—(10)

    '(10)CpCpq。

    凭借这种方式,我们能够证明任何我们想要证明的断定命题。

    第二个例子:表达式CCNpqq的反驳。

    我们首先在以下分析的基础上把这个表达式化归为初等表达式:CNpq~CNCNpqr由Ⅰ;CNCNpqr~CNpqCNqr由Ⅲ;CNpqCNqr~CNpCNqr,CqCNqr由Ⅳ;CNpCNqr~CpCNqr由Ⅱ。

…… 178

    61第五章 判定问题

    表达式CCNpqq就这样化归为两个初等表达式,CqCNqr与CpCNqr,其中第一个是一个断定命题,但第二个不是真的,因为它没有两个p与Np型的前件。

    所以,导致这个不真的后果的表达式CCNpqq必须加以排斥。

    我们根据给定的变形相继地应用断定命题S1,S5,S7与S3来从头开始这一反驳:

    S1。

    pCCNpq,qr×(1)

    '                          '(1)CCNpqCNCNpqr

    S5。

    pCNpq×(12)

    '(12)CCNCNpqrCNpqCNqr

    S7。

    pNp,rCNqr×(13)

    '(13)CCNpqCNqrCNpCNqr

    S3。

    qCNqr×(14)

    '(14)CCNpCNqrCpCNqr。

    现在我们必须反驳表达式CpCNqr;为此目的我们需要新的断定命题S14与S15以及排斥的公理。

    S14。

    pNNCp,qp×CS15—(15)

    '                         '(15)CCNCp(15)×C(16)—S16c(P16)CNCp

    S14。

    pCpCNpq,qCNCp×CS1—(17)

    '(17)CCpCNpqCNCpCNCp(17)×C(P18)—(P16)

    (P18)CCpCNpqCNCp(P18)×(P19)pCpCNpq,qNCp,rp'(P19)CpCNqr

…… 179

    32。化归为初等表达式A                                                                761

    排斥了CpCNqr,现在我们就能够相继地排斥它的各前件直到原来的表达式CCNpq。

    (14)×C(P20)—(19)

    (P20)CNpCNqr(13)×C(P21)—(P20)

    (P21)CCNpqCNqr(12)×C(P2)—(P21)

    (P2)CNCNpqr(1)×C(P23)—(P2)

    (P23)CCNpq用这种方式,你能够反驳C—N系统的任何不真的表达式。

    所有这些推导本可作得更为简短一些,但是我企图表明包含在判定证明中的这个方法。

    这个方法使我们能够在仅仅十五条基本的断定命题(S1—S15)

    及排斥公理的基础上有效地去判定,究竟一个给出的C—N系统的有意义的表达式是应当被断定还是应当被排斥。

    因为演绎理论的所有其它函子都可以用C与N来定义,所以演绎理论的所有有意义的表达式都是在一个公理系统的基础上可被判定的。

    能够列出十五条基本断定命题的一个公理系统,在这个意义上是完全的,即所有这个系统的真表达式都可以在其中推出。

    属于这一类的有:在第23节提出的三条公理的系统,以及作为变形Ⅳ的基础的那三条公理(即CCpqrCNpr,CpqrCqr以及CCNprCCqrCCCpqr)的系统。

    根据定理(TA)

    ,每一个有意义的亚里士多德逻辑的表达式,能够化归为初等表达式,这个定理的证明隐含地包括在

…… 180

    861第五章 判定问题

    对于演绎理论的类似定理的证明之中。

    如果我们把用于变形Ⅰ—Ⅶ中之希腊字母(除了在变形Ⅰ中最后的那个变项之外)代之以亚里士多德逻辑的命题表达式,我们能够用同样的方式应用这些变形于它们,犹如用于演绎理论的表达式一样。

    在CCNAabAbaIab的例子中,能够容易地看出这一点来。

    我们得到:CNAabAbaIab~CNCNAabAbaIabp由Ⅰ;CNCNAabAbaIabp~CNAabAbaCNIabp由Ⅲ;CNAabAbaCNIabp~CNAabCNIabp,

    CAbaCNIabp由Ⅳ;CNAabCNIabp~CAabCNIabp由Ⅱ。

    我们通常能够写Oab来代替NAab,以Eab代替NIab。

    然而,应用带N的形式在今后将是更为便利的。

    CNAabAbaIab所化归成的CAabCNIabp与CAbaCCNIabp这两个初等表达式,都有一个变项作为它们的最后的词项。

    这个变项是由变形Ⅰ引入的。

    我们能够用以下的演绎等值的变形消去它,其中π是一个不在α或β中出现的命题变项:Ⅷ。

    CαCβπ~CαNβ对于S17与S18而言,Ⅸ。

    CαCNβπ~Cαβ对于S19与S20而言。

    对于变形Ⅷ的断定命题:S17。

    CpCqNqCpNqS18。

    CpNqCpCqr。

    对于变形Ⅸ的断定命题:S19。

    CpCNqCpq

…… 181

    3。三段论系统的初等表达式A                                                                              961

    S20。

    CpqCpCNqr。

    当CαCβπ被断定了,用Nβ替代π我们从它得到表达式CαCβNβ,并随后再用S17得到CαNβ;并且,反过来,用S18从CαNβ得到表达式CαCβπ。

    当CαCβπ被排斥时,由S18我们得到CCαNβCαCβπ,所以CαNβ必须被排斥;并且反过来,当CαNβ被排斥时,由S17我们得到CCαCβNβCαNβ,所以CαCβNβ必须被排斥,从而CαCβπ也必须被排斥。

    变形Ⅸ能用同样的方式加以解释。

    这一点我们可以直接地应用于我们的例子。

    以Aab代α,Iab代β,以及p代π;你得到CAab

    Iab。

    用同样方式,从CAba

    CNIabp得出CAbaIab。

    如果我们有多于两个前件的表达式,例如,有几个前件,我们必须重复地应用变形Ⅶ,首先把n—1个前件化为一个前件,然后再应用变形Ⅷ和Ⅸ。

    例如,举以下例子:CNIabCAcbCAdcCIadp~CNCNIabNAcbCAdcCIadp由Ⅶ,CNCNIabNAcbCAdcCIadp~CNCNCNIabNAcbNAdcCIadp由Ⅶ;CNCNCNIabNAcbNAdcCIadp~CNCNCNIabNAcbNAdcNIad由Ⅷ;CNCNCNIabNAcbNAdcNIad~CNCNIabNAcbCAdcNIad由Ⅶ;CNCNIabNAcbCAdcNIad~CNIabCAcbCAdcNIad由Ⅶ。

    定理(TA)

    现在充分地被证明了。

    所以我们能够进行到我们的主要项目:亚里士多德三段论系统的判定的证明。

…… 182

    071第五章 判定问题

    3。三段论系统的初等表达式A根据定理(TA)

    ,亚里士多德三段论系统的表达式都能够用演绎地等值的方式化归为一组初等表达式,亦即具有

    Cα1Cα2Cα3Cαn1CαnC形式的表达式,其中所有的α都是三段论系统的简单表达式,亦即Aab,Iab,Eab或NIab,以及Oab或NAab等类型的表达式。

    现在,我将表明三段论系统的每一个初等表达式都是可判定的,也就是说或者被断定,或者被排斥。

    我将首先证明所有简单表达式(除Aaa及Iaa型的表达式外)都是被排斥的。

    我们已经看到(第27节,公式P61)

    Iac是被排斥的。

    这里是其它表达式的排斥的证明:P61×P10。

    cb' P10。

    Iab8×CP101-P100(8,CAabIab)

    P101。

    AabIV。

    pAa,qIab×C1—102'                    '(IV。

    CpCNpq)

    102。

    CNAaⅠab102×CP103—P10P103。

    NAaa(=Oa)

    P103×P104。

    ba' P104。

    NAab(=Oab)

    IV。

    pIa,qIab×C2—105'105。

    CNIaIab

…… 183

    3。三段论系统的初等表达式A                                                                         171

    105×CP106—P10P106。

    NIaa(=Ea)

    P106×P107ba' P107NIab(=Eab)

    现在转向复杂的初等表达式,我将相继地研究所有可能的情况,而省去可能的形式证明,而仅提出它们如何能得以证明的提示。

    有六种情况应当加以研究。

    第一种情况:后件αn是否定的,而所有各前件都是肯定的。

    这样的表达式都是被排斥的。

    证明:把在这个表达式中出现的所有变项都等同于a,作为同一律Aau或Ia,所有前件都成为真的,而后件成为假的。

    我们看出,对于这个情况的解决说来,同一律乃是根本的。

    第二种情况:后件是否定的,并且只有一个前件是否定的。

    这个情况可以化归为只具有肯定元素的情况,并且这样的情况,如我们随后将看到的,总是可判定的。

    证明:CαCNβNγ形式的表达式都演绎地等值于CαCγβ形式的表达式(对于断定命题CCpCNrNqCpCqr与CCpCqrCCpCNrNq而言)

    ,这不仅对于一个肯定的前件α是真的,而且对于任何数量的肯定的前件都是真的。

    第三种情况:后件是否定的,并且一个以上的前件是否定的。

    这类表达式能化归为简单表达式,以至最终化归为第二种情况。

    这个情况的解需要斯卢派斯基排斥规则。

    证明:让我们假定原表达式是CNαCNβCγ…

    Np形式的。

    因为任一前件都可以移至无论那一个位置,这个假定总是可以作出的。

    我们把这个表达式相应地省去其第二个或第一个

…… 184

    271第五章 判定问题

    前件,化归为两个比较简单一些的表达式CNαCγ…

    Np与CNβCγ…

    Np。

    如果这些表达式有一个以上的否定前件,我们就重复这种处理,一直到我们得出只带有唯一的否定前件的公式为止。

    因为根据第二种情况,这样的公式都是演绎地等值于可判定的肯定的各表达式的,所以它们总是或者被断定或者被排斥。

    只要它们之中的一个被断定了,那末原表达式也必须被断定,因为用简化定律我们可以把先前加以省略的所有其它否定前件加于这个断定的公式之上。

    然而如果所有具有一个否定前件的公式都被排斥了,那么我们重复运用斯卢派斯基排斥规则,从它们得出原表达式必须被排斥。

    举两个例子就可以透彻地说明问题。

    第一个例子:CNA

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